Funções Diferenciáveis e Séries - Aula 01¶

Professora : Leila Maria Vasconcelos - Sala 105, Bloco A¶

Site da disciplina : www.ime.usp.br/~leila¶

Bibliografia :

Um curso de Cálculo, vol. 2, James Stewart
Cálculo com Geometria Analítica, Simmons

Datas de Provas :¶

P1 : 22/04
P2 : 17/06
PSub ( aberta ) : 24/06
Média : \(\frac{P1+P2}{2}\)

Aula 01 - Introdução às Séries¶

Definição de Sequência de Números Reais :

Def : Uma sequência é uma função do tipo \( f : \mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{N} \), e denotamos \(a_n = f(n)\), como a sequência até um n arbitrario. Notação alternativa : \(a_n = (a_n) \)

Ex 1 :¶

Descubra a lei da sequência : \(0 , \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 0 ...\)

\[\begin{split}f(n) = \begin{array}{11} 0, se\ n\ for\ par\\ \frac{1}{k+1} se\ n = 2k+1\end{array}\end{split}\]

Definição :¶

Seja (\(a_n\)) uma sequência de números reais. Dizemos que \(a_n \rightarrow L \ \mathbb{E}\ \mathbb{R}\) ou \(\ lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L\)

se os \(a_n\) ficam arbitrariamente próximos de L para n suficientemente grandes

Em outras palavras : A sequência converge se o limite tendendo ao infinito existe.

Teorema 1 :¶

\[lim_{x \rightarrow \infty} \ f(x) = L \rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = L, \ x \mathbb{E} \mathbb{R}, n\mathbb{E}\mathbb{N}\]

Ou seja : Se o limite existe para uma função Real, ele também é valido no intervalo dos naturais. Isso nos permite realizar manipulações algébricas como L”Hospital em limites de intervalos Naturais, nos quais não seria possível derivar pois funções Naturais não são contínuas.

Aplicação :

\[lim_{n\rightarrow\infty} \frac{ln(n)}{n}\]

Aplicando o teorema 1, temos :

\[lim_{x\rightarrow\infty} \frac{ln(x)}{x}\]

O que é uma indeterminação do tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), então podemos aplicar L”Hospital…

\[lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0\]

Portanto, podemos concluir que :

\[lim_{n\rightarrow\infty} \frac{ln(n)}{n} = 0\]

E a série converge.

Importante : A recíproca NÃO é verdadeira. Se uma série converge no infinito não implica que o limite exista nos Reais. Exemplo :

\[lim_{n\rightarrow\infty}sen(\pi\cdot n)\]

O limite existe e vale 0, mas se aplicarmos o teorema 1 ao contrário :

\[lim_{x\rightarrow\infty}sen(\pi\cdot x)\]

Note que o limite não existe, já que x é um valor real e faz o valor do seno oscilar e nunca convergir para um valor.

Propriedas dos limites de Série :¶

As mesmas propriedades de limites reais :

Limite da soma : soma dos limites.
Limite do produto : produto dos limites.
Limite da subtração : subtração dos limites.
Limite da divisão : divisão dos limites.